Departement Mathematik und Statistik

Skripten und Lehrmaterial

Lutz Dümbgen: Stochastik für Informatiker

Springer-Verlag, März 2003, ISBN 3-540-00061-5

Stochastische Methoden finden in der Informatik zahlreiche Einsatzfelder, insbesondere in der Bio- und Medizinischen Informatik. Ziel des Buches ist, eine Einführung in die Grundlagen der Stochastik mit einigen Anwendungsbeispielen zu geben. Über weite Strecken konzentriert es sich auf diskrete Modelle. Es basiert auf den Vorlesungen Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik I-III, die ich in Lübeck regelmäßig veranstaltete. Statistische Methoden im engeren Sinne wurden in den Vorlesungen Biometrie I-II behandelt; siehe auch mein Lehrbuch Biometrie (September 2009).

Für Fehlermeldungen und Anregungen bin ich jederzeit dankbar. Auf Wunsch werde ich auch weitere Lösungshinweise und Ergänzungen auf diese Seite stellen.

Inhalt

  1. Einleitung
    (Wahrscheinlichkeiten und zwei Deutungen hierfür)
  2. Laplace-Wahrscheinlichkeiten und diskrete Modelle
    (Gleichverteilungen, Stichprobenziehen mit und ohne Zurücklegen, diskrete Wahrscheinlichkeitsräume)
  3. Bedingte Wahrscheinlichkeiten und stochastische Unabhängigkeit
    (Kolmogorovs Axiome und die Siebformel, Bedingte Wahrscheinlichkeiten, stochastische Unabhängigkeit, Hardy-Weinberg-Gesetz, Produkträume)
  4. Zufallsvariablen und spezielle Verteilungen
    (Bernoullifolgen und Binomialverteilungen, hypergeometrische Verteilungen, Poissonverteilungen, Wartezeiten und geometrische Verteilungen, zufällige Permutationen, Faltungen, Laufzeit von QuickSort)
  5. Statistische Anwendungen: Konfidenzbereiche
    (Definition und Konstruktion von Konfidenzbereichen, Konfidenzschranken für Binomialparameter: Wahlprognosen, Konfidenzschranken für hypergeometrische Verteilungen: Capture-Recapture-Verfahren und Qualitätskontrolle, Vergleich zweier Binomialparameter: Chancenquotienten)
  6. Erwartungswerte und Standardabweichungen
    (Erwartungs- und Mittelwerte, Markov-Ungleichung, Varianz und Kovarianz, Tshebyshev-Ungleichung, Weierstraßscher Approximationssatz, Schwaches Gesetz der großen Zahlen)
  7. Erzeugende Funktionen und Exponentialungleichungen
    (Erzeugende Funktionen, Momente und momentenerzeugende Funktionen, Exponentialungleichungen, Hoeffding-Ungleichung)
  8. Informationstheorie
    (Fragestrategien und Kodes, Entropie, Optimale Kodierung nach Huffman)
  9. Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume
    (Kolmogorovsche Axiome II, Existenz und Eindeutigkeit von Maßen, Bernoullifolgen: Gesetz der großen Zahlen und die Irrfahrt auf Z, Wahrscheinlichkeitsmaße auf R: Verteilungs- und Quantilfunktionen, Folgen stochastisch unabhängiger Zufallsvariablen)
  10. Integrale und Erwartungswerte
    (Lebesgue-Integrale, Erwartungswerte, Satz von Fubini, Transformationsformel, starke Gesetze der Großen Zahlen)
    Tippfehler:
    In Aufgabe 10.3 (b) ist zu zeigen, dass |g(x) - g(y)| ≤ f(μ).
    In Aufgabe 10.5 (a) geht es um die Zufallsvariable Y = log10(X).
  11. Computersimulation von Zufallsvariablen
    (Monte-Carlo-Schätzer, Pseudozufallszahlen, Acceptance-Rejection-Verfahren)
  12. Markovketten
    (Modelle für Kartenmischen und Warteschlangen, Absorptionswahrscheinlichkeiten, Langzeitverhalten homogener Markov-Ketten: Invariante Verteilungen und Rekurrenz, Simulated Annealing)
  13. Approximation von Verteilungen
    (Poisson-Approximation, Poisson-Prozesse, Zentraler Grenzwertsatz mit Anwendungen)
  14. Maximum-Likelihood-Schätzer und EM-Algorithmus
    (Maximum-Likelihood-Schätzung, Kullbach-Leibler-Abstände, Expectation-Maximization-Algorithmus mit einem Anwendungsbeispiel)
    Tippfehler:
    Seite 252, Zeile 7: Hinter "checkL" verbirgt sich "L∨", siehe auch den Text danach.
    In Zeile 11 sollte stehen "sofern fθ(X) > 0."
  15. Anhang: Analytische Hilfsmittel
    (Eine Optimierungsmethode von Lagrange, Stirlingsche Approximationsformel)